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Pino - logical board game which is based on tactics and strategy. In general this is a remix of chess, checkers and corners. The game develops imagination, concentration, teaches how to solve tasks, plan their own actions and of course to think logically. It does not matter how much pieces you have, the main thing is how they are placement!

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ⓘ 142 857

English version: 142.857

Le nombre 142 857 possède de nombreuses propriétés mathématiques remarquables en base dix. La plupart de celles-ci découlent du fait que 142 857 est la période du développement décimal de la fraction 1/7.

                                     

1. Nombre cyclique

142 857 est un nombre cyclique appelé aussi "nombre phénix":

Les multiples successifs de 142 857 en forment les permutations circulaires:

1 × 142 857 = 1 42 857 2 × 142 857 = 285 7 1 4 3 × 142 857 = 428 57 1 4 × 142 857 = 57 1 428 5 × 142 857 = 7 1 4 285 6 × 142 857 = 857 1 42
                                     

1.1. Nombre cyclique Développement décimal cyclique des septièmes

La multiplication par 7 de 142 857 donne évidemment 999 puisque 142 857 est le développement périodique de la partie décimale de la division 1/7:

1/7 = 0, 142 857 142 857 142 857 …

On notera alors la première approximation de pi par un rationnel dont la période du développement décimal comprend plus dun chiffre:

22/7 = 3, 142 857. approximation très grossière car seules deux premières décimales sont identiques.
                                     

1.2. Nombre cyclique Multiplications de 8 à 14

Nous avons vu plus haut que les multiplications de 142 857 par les nombres 1 à 6 produisaient des permutations circulaires de ce dernier. Les multiplications de 142 857 par 8 à 13 font aussi apparaître les permutations circulaires précédentes avec la particularité que le dernier chiffre n se transforme en n – 1, lunité "passant devant" lunité correspond au million:

  • 14 × 142 857 = 1 999 99 8 On note que la multiplication par 14 vérifie aussi la particularité de la décomposition du dernier chiffre en n – 1, lunité "passant devant".
  • 12 × 142 857 = 1 714 28 4
  • 10 × 142 857 = 1 428 57 0
  • 11 × 142 857 = 1 571 42 7
  • 9 × 142 857 = 1 285 71 3
  • 13 × 142 857 = 1 857 14 1
  • 8 × 142 857 = 1 142 85 6
                                     

1.3. Nombre cyclique Multiplications de 15 à 21

Les multiplications de 142 857 par 15 à 21 font aussi apparaître les permutations circulaires précédentes avec la particularité cette fois que le dernier chiffre n se transforme en n – 2, le 2 "passant devant" 2 correspond à 2 millions:

  • 16 × 142 857 = 2 285 71 2
  • 17 × 142 857 = 2 428 56 9) La multiplication par 17 fait apparaître une difficulté ; la règle sapplique sans sappliquer. En effet, le problème de la décomposition du chiffre 1 en 2 + –1 "oblige" à retirer une unité au chiffre des dizaines et à mettre 9 au niveau des unités. La permutation de 142 857 est moins visible.
  • 15 × 142 857 = 2 142 85 5
  • 19 × 142 857 = 2 714 28 3
  • 20 × 142 857 = 2 857 14 0
  • 21 × 142 857 = 2 999 99 7 La multiplication par 21 vérifie aussi la particularité de la décomposition du dernier chiffre en n – 2, le 2 "passant devant".
  • 18 × 142 857 = 2 571 42 6


                                     

1.4. Nombre cyclique Multiplications suivantes

  • Pour les multiplications de 29 à 35, le dernier chiffre n devient n – 4, le 4 passant devant.
  • Et ainsi de suite.
  • Pour les multiplications de 22 à 28, le dernier chiffre n devient n – 3, le 3 passant devant.

Lexplication est assez simple. Tout nombre entier n peut sécrire de façon unique 7 × a + b, a étant un nombre entier et b un nombre entier compris entre 0 et 6 par simple division euclidienne par 7.

La multiplication par n devient:

n × 142 857 = 7 × a + b × 142 857 = a × 7 × 142 857 + b × 142 857 = a × 999 + b × 142 857 = a × 1 000 - a + b × 142 857

Le nombre b étant compris entre 0 et 6, le produit b × 142 857 fait apparaître la permutation.

Le terme a × 1 000 – a explique la décomposition du dernier chiffre n de la permutation en n – a et a "passant devant" a millions

Comme nous lavons vu plus haut pour la multiplication par 17, les décompositions faisant apparaître un nombre négatif vont devenir de plus en plus fréquentes à mesure que le multiplicateur croît et la permutation deviendra de moins en moins visible.

                                     

2. Lien avec 9, 99, 999 et 999

De nombreuses identités remarquables lient 142 857 aux nombres de la forme 10 n – 1:

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 où 2 + 7 = 9 14 + 28 + 57 = 99 142 + 857 = 999 142 857 × 7 = 999

Elles sont liées au fait que 142 857 est la période du développement décimal de la fraction 1/7 et se généralisent aux autres périodes de fractions du type 1/ n par exemple:

  • 333 de 1/3
  • 076 923 de 1/13
  • 09 de 1/11

On peut aussi remarquer que 2 est un élément dordre 6 modulo 9:

2 1 mod 9 ≡ 2 {\displaystyle 2^{1}\mod 9\equiv 2} 2 mod 9 ≡ 4 {\displaystyle 2^{2}\mod 9\equiv 4} 2 3 mod 9 ≡ 8 {\displaystyle 2^{3}\mod 9\equiv 8} 2 4 mod 9 ≡ 7 {\displaystyle 2^{4}\mod 9\equiv 7} 2 5 mod 9 ≡ 5 {\displaystyle 2^{5}\mod 9\equiv 5} 2 6 mod 9 ≡ 1 {\displaystyle 2^{6}\mod 9\equiv 1}

et lon voit réapparaître les chiffres 1, 4, 2, 8, 5 et 7.

À partir de 7 × 142 857 = 999 999, on peut déduire

142 857 × 7 × n = n × 1000000 – n,

ce qui permet de calculer mentalement rapidement nimporte quel multiple de 142 857.



                                     

3. Nombre de Kaprekar

142 857 est un nombre de Kaprekar en base dix:

142 857 2 = 20 408 122 449 142 857 = 20 408 + 122 449

De même en le multipliant par nimporte quel nombre, en additionnant les morceaux du résultat par groupes de 6 en partant de la fin et ainsi de suite avec le nouveau résultat on obtient le nombre 142 857 avec un éventuel décalage donc 142 857 × 1, 2, … ou 6 ou 999 = 142 857 × 7. Par exemple:

142 857 × 56 = 7 999 992 ⇒ 7 + 999 992 = 999 = 142 857 × 7 142 857 × 125 = 17 857 125 ⇒ 17 + 857 125 = 857 142 = 142 857 × 6 142 857 × 7 841 131 285 974 854 689 745 213 = 1 120 160 492 120 509 816 412 931 893 541 ⇒ 1 + 120 160 + 492 120 + 509 816 + 412 931 + 893 541 = 2 428 569 ⇒ 2 + 428 569 = 428 571 = 142 857 × 3

On notera également

142 857 4 = 416 491 461 893 377 757 601 142 857 × 15 = 416 + 491 461 + 893 377 + 757 601

et

142 857 8 = 173 465 137 830 082 936 774 412 507 898 191 113 275 201 142 857 × 15 = 173 465 + 137 830 + 082 936 + 77 4412 + 507 898 + 191 113 + 275 201

Cette décomposition dun multiple comme somme de sous-nombres dune puissance est partagée par les périodes dun développement décimal de fraction, par exemple:

  • 0 588 235 294 117 647 de 1/17
  • 09 de 1/11
  • 333 de 1/3
                                     

4. Nombre jumeau et la roue de six

326 451 peut être considéré comme le jumeau de 142 857:

  • Dune part: 142 857 × 3 = 428 57 1 142 857 × 2 = 285 71 4 142 857 × 6 = 857 14 2 142 857 × 4 = 571 42 8 142 857 × 5 = 714 28 5 142 857 × 1 = 142 85 7
  • Dautre part: 10 = 3 + 7 × 1 100 = 2 + 7 × 14 1 000 = 6 + 7 × 142 10 000 = 4 + 7 × 1 428 100 000 = 5 + 7 × 14 285 1 000 = 1 + 7 × 142 857

On peut visualiser certaines propriétés de 142 857 avec la roue de six évoquée par Dom Néroman dans son livre La leçon de Platon.

On y remarque que la somme des nombres opposés est égale à 9 dans la roue extérieure, et à 7 à lintérieur.

                                     

5. Autres propriétés

Sa décomposition en produit de facteurs premiers est:

142 857 = 3 × 11 × 13 × 37

Il possède au total 32 diviseurs, qui sont: 1.3.9.11.13.27.33.37.39.99.111.117.143.297.333.351.407.429.481.999.1221.1287.1443.3663.3861.4329.5291.10989.12987.15873.47619.142857.

                                     

6. En littérature

Le nombre 142 857 apparaît dans la Trilogie du cycle des dieux de Bernard Werber comme le numéro de chambre de Michael Pinson et le fait réfléchir à toutes ses caractéristiques.

                                     

7. Lien avec les nombres divisibles par 7

  • Entre 1-10000, il y a 1428 nombres divisibles par 7
  • Entre 1-100, il y a 14 nombres divisibles par 7
  • Entre 1-1000, il y a 142 nombres divisibles par 7
  • Entre 1-10, il y a 1 nombre divisible par 7
  • Entre 1-100000, il y a 14285 nombres divisibles par 7
  • Entre 1-1000000, il y a 142857 nombres divisibles par 7
  • Entre 1-10000000, il y a 1428571 nombres divisibles par 7

.

                                     
  • Tupolev Tu - 95 - 142 Bear Russia s Intercontinental - range Heavy Bomber, Hinckley, Midland Publishing, coll.  Aerofax  1998 ISBN 978 - 1 - 857 - 80046 - 3 en
  • donne 1 020 408 163 265 030 612 244 897 959 183 673 469 387 755 au lieu de 142 857 Suite A092697 de l OEIS. en John Tierney, Prize for Dyson Puzzle 
  • 7 777, 9 999, 17 344, 22 222, 38 962, 77 778, 82 656, 95 121, 99 999, 142 857 148 149, 181 819, 187 110, 208 495 et 318 682. Dans l inventaire que fait
  • Liberators consulté le 1er mai 2006 Brelet 2013, p. 857 Martin et Johnson 1981. Keller 2005, p. 136 - 142 Vera 2009, Munyori Literary Journal. en David
  • Mayenne entre la limite départementale de la Sarthe et La Gravelle. RD 857 en Ille - et - Vilaine. Autrefois, elle reliait Blois à Rennes. La section Orléans - Ormes
  • Liste des 142 communes de la province de Castellón dans la Communauté valencienne Espagne Données de superficie sur le site de l INE. Données 2013
  • Saint Germier - 691 Arricius - 785 Mancion - 798 Samuel - 843 Salomon - 857 Helisachar - 861 Bernard 883 - 890 Armandus 903 - 925 Hugues I 926 - 972
  • siège administratif du canton Amt de Stavenhagen. Sa population comptait 5 857 habitants en 2010. La commune regroupe, outre la ville - même, les villages
  • in Latin, English, German, French and Italian, Amsterdam, Elsevier, 2007, 857 p. ISBN 9780444518774, lire en ligne Mammal Species of the World version
  • nestorienne, né à Bagdad sous le règne d Hâroun ar - Rachîd, mort à Samarra en 857 Il était le fils d un préparateur en pharmacie de l hôpital de Gundishapur


                                     
  • schulleri from new specimens from southeastern Morocco. Int. J. Plant. Sci. 166: 857 - 874. en BERRY, C. M., et WANG, Y. 2006. A new plant attributed to Cladoxylopsida
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  • Kasa, 2 897 m Mont Kashimayari, 2 889 m Mont Utsugi, 2 864 m Mont Jōnen, 2 857 m Mont Sannosawa, 2 846 m Mont Minamikoma, 2 841 m Mont Kannon Hōō - zan
  • Tunnel routier du Puymorens Latour - de - Carol km 855 Enveitg km 857 Ur km 861 Carrefour giratoire entre RN 20 et N - 154 route espagnole
  • avril 2010 en Carl L. Yaws, Handbook of Thermodynamic Diagrams, vol. 1, Huston, Texas, Gulf Pub. Co., 1996 ISBN 0 - 88415 - 857 - 8 Portail de la chimie
  • nouveau dispositif a été réalisé en 2008. En 2017, la commune comptait 1 857 habitants, en augmentation de 0, 49  par rapport à 2012 Côte - d Or : 1, 22 
  • Thermodynamic Diagrams, vol. 1, Huston, Texas, Gulf Pub. Co., 1996 ISBN 0 - 88415 - 857 - 8 Office of Radiation, Chemical Biological Safety ORCBS consulté
  • Prélude Fugue en la mineur GWV 856 - Bourrée en si bémol majeur GWV 857 - Partita en si bémol majeur Graupner: Partitas pour clavecin Vol. 1. Geneviève
  • Albert Mathiez, Catherine Théot  Revue de Paris, 15 avril 1901, p. 857 - 878 lire en ligne Repris dans Albert Mathiez, Contributions à l histoire
                                     
  • Aircraft, Hinkley, UK, Midland Publishing, 2004, 384 p. ISBN 1 - 857 - 80187 - 3 et 978 - 1 - 857 - 80187 - 3 en Bill Gunston, The Osprey encyclopedia of Russian
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  • substitution of vision in sighted and early blind subjects  Perception, 34, 857 867. en Renier, L., Bruyer, R., De Volder, A. G. 2006 Vertical - horizontal
  • celle que possède Marcus Honorius. Le film a rapporté au box - office 203 567 857 dans le monde entier. Il a attiré dans les salles de cinéma 1 576 096 spectateurs
  • Mincio et Villafranca di Verona. La superficie de production théorique est de 857 hectares provenant de vignes poussant au bord du lac de Garde. La zone se
  • Thermodynamic Diagrams, vol. 1, Huston, Texas, Gulf Pub. Co., 1996 ISBN 978 - 0 - 88415 - 857 - 8, LCCN 96036328 2 - hydroxy - 2 - méthylpropionitrile  sur ESIS, consulté
  • L. Yaws, Handbook of Thermodynamic Diagrams, vol. 1, Huston, Texas, Gulf Pub. Co., 1996 ISBN 978 - 0 - 88415 - 857 - 8, LCCN 96036328 Portail de la chimie
  • Thermodynamic Diagrams, vol. 1, Huston, Texas, Gulf Pub. Co., 1996 ISBN 0 - 88415 - 857 - 8 en David R. Lide, Handbook of chemistry and physics, Boca Raton, CRC
  • pour renouveler les Conseils communaux des 68 communes valdôtaines. Il y a 142 bureaux de votes, ouverts de 7 heures à 23 heures. En Vallée d Aoste, les
                                     
  • 2010 en Carl L. Yaws, Handbook of Thermodynamic Diagrams, vol. 1, Huston, Texas, Gulf Pub. Co., 1996 ISBN 0 - 88415 - 857 - 8 Portail de la chimie

Dictionnaire encyclopédique

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