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E (nombre)
                                     

ⓘ E (nombre)

English version: E (mathematical constant)

Le nombre e est la base des logarithmes naturels, cest-à-dire le nombre défini par ln ⁡ = 1 {\displaystyle \ln=1}. Cette constante mathématique, également appelée nombre dEuler ou constante de Néper en référence aux mathématiciens Leonhard Euler et John Napier, vaut environ 2.71828.

Ce nombre est défini à la fin du XVII e siècle, dans une correspondance entre Leibniz et Christian Huygens, comme étant la base du logarithme naturel. Autrement dit, il est caractérisé par la relation ln ⁡ e = 1 {\displaystyle \ln\mathrm {e}=1} ou de façon équivalente il est limage de 1 par la fonction exponentielle, doù la notation exp ⁡ x = e x {\displaystyle \expx=\mathrm {e} ^{x}}. La décomposition de cette fonction en série entière mène à la définition de e par Euler comme somme de la série: e = 1 + 1 + 1 × 2 + 1 × 2 × 3 + 1 × 2 × 3 × 4 + ⋯ = ∑ n = 0 + ∞ 1 n!. {\displaystyle \mathrm {e} =1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{1\times 2\times 3}}+{\frac {1}{1\times 2\times 3\times 4}}+\cdots =\sum _{n=0}^{+\infty }{\dfrac {1}{n!}}.} Ce nombre apparait aussi comme limite de la suite numérique de terme général 1 + 1 n {\displaystyle \left1+{\frac {1}{n}}\right^{n}} et dans de nombreuses formules en analyse telles que lidentité dEuler e i π = − 1 {\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }=-1} ou la formule de Stirling qui donne un équivalent de la factorielle. Il intervient aussi en théorie des probabilités ou en combinatoire.

Euler démontre en 1737 que e est irrationnel, donc que son développement décimal nest pas périodique, et en donne une première approximation avec 23 décimales. Il explicite pour cela son développement en fraction continue. En 1873, Charles Hermite montre que le nombre e est même transcendant, cest-à-dire quil nest racine daucun polynôme non nul à coefficients entiers.

                                     

1.1. Définition par les logarithmes Logarithme népérien

Au début du XVII e siècle, le mathématicien écossais John Napier construit les premières tables de logarithmes, qui permettent de simplifier des calculs de produits et quotients mais aussi racines carrées, cubiques et autres. Elles consistent à associer à chaque nombre dune liste un autre nombre appelé logarithme, de façon quune relation de proportionnalité entre quatre termes de la première liste se traduise par des différences égales entre les termes correspondants de la seconde liste: si a, b, c et d ont pour logarithmes respectifs A, B, C et D, alors la relation a ⁄ b = c ⁄ d est équivalente à la relation A − B = C − D.

Plus précisément, Napier fixe un rayon initial de dix millions et construit une liste dans laquelle chaque nombre permet de calculer le suivant en lui soustrayant un dix-millionième de sa valeur. Ces opérations successives sont donc des multiplications itérées par 1 – 10 –7 et la liste constitue une suite géométrique de premier terme 10 7. Le logarithme de chaque nombre de la liste étant son rang dapparition, la formule du logarithme ainsi obtenu par Napier sécrit alors:

NapLog ⁡ x = log 1 − 10 − 7 ⁡ x.10 − 7 = ln ⁡ x.10 − 7 ln ⁡ 1 − 10 − 7 {\displaystyle \operatorname {NapLog} x=\log _{1-10^{-7}}x.10^{-7}={\frac {\lnx.10^{-7}}{\ln1-10^{-7}}}}.

Napier interprète cette construction à laide dun problème cinématique dans lequel un mobile se déplace à vitesse constante et un autre se déplace sur une longueur finie avec une vitesse proportionnelle à la distance qui lui reste à parcourir. En termes modernes, le problème se traduit donc par deux équations différentielles dont les solutions sont linéaire pour le premier mobile et exponentielle pour le second. En égalant les vitesses initiales des deux mobiles et en fixant à 10 7 la longueur à parcourir pour le second mobile, la position L du premier mobile sobtient à partir de la distance restante x du premier mobile par la formule: L = − 10 7 ln ⁡ x.10 − 7. {\displaystyle L=-10^{7}\lnx.10^{-7}.}

Or lapproximation affine du logarithme naturel en 1 permet dapprocher ln1 − 10 −7 par −10 −7 avec une précision de lordre de 10 −14, soit 7 chiffres significatifs. Les tables de valeurs obtenues par Napier offrent donc à la lecture les mêmes premières décimales que celles du logarithme naturel et en particulier, son logarithme vaut 10 7 entre les sinus de 21°35 et de 21°36, où lon retrouve les premières décimales de 1 ⁄ e à savoir 3678…. Mais ce nombre nest pas mis en évidence par Napier.

                                     

1.2. Définition par les logarithmes Logarithme décimal

En 1624, Henry Briggs, correspondant avec Napier, modifie les paramètres de construction des tables de logarithmes. Dabord il fixe à 0 le logarithme de 1, ce qui revient à choisir un rayon unitaire. Ses tables transforment alors les produits en sommes, ce qui sécrit en formulation moderne: logab = loga + logb. Ensuite, il fixe à 1 le logarithme de 10, ce qui fait quune multiplication par 10 dun nombre se traduit par un ajout dune unité à son logarithme.

Briggs obtient ainsi une table de valeurs du logarithme décimal, fondé sur le système de numération en base 10, mais la notion de fonction na pas encore émergé à lépoque. En particulier, il ny a pas de trace dune évaluation dun taux daccroissement en 1, qui aurait pu faire apparaitre une approximation de loge.

                                     

1.3. Définition par les logarithmes Logarithme naturel

En 1647, Grégoire de Saint-Vincent met en évidence une relation analogue à celle du logarithme entre les aires de domaines délimités par une branche dhyperbole et son asymptote. En 1661, Christian Huygens fait le lien entre les logarithmes et la quadrature de lhyperbole, et en particulier celle déquation x y = 1. Le logarithme naturel est donc mis en évidence, mais sa base e nest pas identifiée.

C’est dans une lettre de Leibniz à Huygens que ce nombre est enfin identifié comme la base du logarithme naturel, vers 1690, mais Leibniz le note b.

                                     

1.4. Définition par les logarithmes Nouvelle notation

Euler, dans un article écrit en 1727 ou 1728, est le premier à noter e "le nombre dont le logarithme est lunité". Il utilise cette notation, avec la même définition, dans une lettre à Goldbach en 1731.

Le choix de la lettre e comme un hommage au nom dEuler lui-même étant par conséquent peu probable, dautres suppositions ont été avancées: première voyelle ou première lettre non utilisée dans un calcul littéral, initiale de "exponentielle", etc.

                                     

2.1. Redéfinition par lexponentielle Relation avec la base du logarithme naturel

Euler voyait dans les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmes des fonctions réciproques lune de lautre. Ecrivant léquivalence a z = y ⇔ z = l y {\displaystyle a^{z}=y\Leftrightarrow z=ly}, il appelait le logarithme l en question le logarithme de base a et remarquait que l a = 1. Selon cette correspondance, il existe un nombre appelé par Euler e vérifiant léquivalence e z = y ⇔ z = ln ⁡ y {\displaystyle \mathrm {e} ^{z}=y\Leftrightarrow z=\lny}, ce nombre vérifie lne = 1. La fonction exponentielle admettant une décomposition en série entière, Euler obtient le développement de e comme série des inverses des factorielles des entiers naturels.

Selon Hervé Lehning, il aurait eu "lintuition absolument géniale décrire lexponentielle de base a quelconque comme un polynôme de lexposant":

a x = A + B x + C x 2 + D x 3 + E x 4 + ⋯ {\displaystyle a^{x}=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}+\cdots }

Il va exprimer tous les coefficients en fonction de B. Voici comment. Dabord, en posant x =0, il obtient A =1. Puis, il calcule:

a 2 x = 1 + B 2 x + C 2 x 2 + D 2 x 3 + E 2 x 4 + ⋯ {\displaystyle a^{2x}=1+B2x+C2x^{2}+D2x^{3}+E2x^{4}+\cdots }

a 2 x = 1 + 2 B x + 4 C x 2 + 8 D x 3 + 16 E x 4 + ⋯ {\displaystyle a^{2x}=1+2Bx+4Cx^{2}+8Dx^{3}+16Ex^{4}+\cdots }

mais puisque a 2 x = a x 2, il pose également

a x 2 = A + B x + C x 2 + D x 3 + E x 4 + ⋯ 2 {\displaystyle {a^{x}}^{2}=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}+\cdots^{2}}

donc,

1 + 2 B x + 4 C x 2 + 8 D x 3 + 16 E x 4 + ⋯ = 1 + B x + C x 2 + D x 3 + E x 4 + ⋯ 2 {\displaystyle 1+2Bx+4Cx^{2}+8Dx^{3}+16Ex^{4}+\cdots =1+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}+\cdots^{2}}

Il développe le membre de droite de façon à pouvoir identifier les coefficients de gauche à ceux de droite: 2 B =2 B, 4 C = B 2 + 2 C doù C = B 2 ⁄ 2, 8 D =2 D + 2 BC doù D = B 3 ⁄ 6, etc.

Il parvient donc à cette équation:

a x = 1 + B x + B 2 x 2 + B 3 6 x 3 + B 24 x 4 + ⋯ {\displaystyle a^{x}=1+Bx+{\dfrac {B^{2}}{2}}x^{2}+{\dfrac {B^{3}}{6}}x^{3}+{\dfrac {B^{4}}{24}}x^{4}+\cdots }

La base e étant la seule permettant légalité entre lexponentielle et sa dérivée, il reste à trouver B tel que ce polynôme et sa dérivée sont égaux. La solution est triviale: B =1. Enfin, on observe que 1, 2, 6, 24 sont les valeurs successives de la factorielle, ce qui mène Euler à conclure:

e = 1 + 1 1! + 1 2! + ⋯ + 1 k! + ⋯ {\displaystyle \mathrm {e} =1+{\dfrac {1}{1!}}+{\dfrac {1}{2!}}+\cdots +{\dfrac {1}{k!}}+\cdots } dont une valeur approchée avait déjà été calculée par Isaac Newton en 1669.

Les différentes caractérisations de la fonction exponentielle parmi les autres fonctions exponentielles de base quelconque permettent aussi de redéfinir e comme lunique réel tel que la fonction qui à x associe e x soit égale à sa dérivée ou admette une dérivée valant 1 en 0.



                                     

3.1. Propriétés Irrationalité

La première preuve de lirrationalité de e est due à Euler voir infra. Fourier donna la preuve plus simple suivante, en utilisant la décomposition de e par la série exponentielle et en raisonnant par labsurde.

Il sagit de prouver que pour tout entier n > 0, le nombre n e nest pas entier. Pour cela, il montre que n!e lui-même nest pas entier, en le décomposant sous la forme n! e = x + y {\displaystyle n!\,\mathrm {e} =x+y}, où les nombres x et y sont définis par: x = n! ∑ k = 0 n 1 k!, y = n! ∑ k = n + 1 ∞ 1 k! {\displaystyle x=n!\sum _{k=0}^{n}{\dfrac {1}{k!}},\qquad y=n!\sum _{k=n+1}^{\infty }{\dfrac {1}{k!}}}.

  • Le nombre x est entier, comme somme des entiers n – 1n – 2…k + 1 pour k de 0 à n ;
  • Le nombre y nest pas entier. En effet, il est compris strictement entre 0 et 1.

Ainsi, n!e est somme dun entier et dun non-entier ; il nest donc pas entier ; a fortiori, n e nest pas entier. Cette conclusion étant valable quel que soit lentier n > 0, e est irrationnel.



                                     

3.2. Propriétés Fraction continue

Une autre démonstration de lirrationalité de e consiste à utiliser les fractions continues. Si la preuve est plus complexe, elle offre aussi plus de possibilités de généralisation.

En 1737, Euler a obtenu le développement en fraction continue de e: e = 2 + 1 + 1 2 + 1 + 1 + 1 4 + 1 + 1 + 1 6 + … {\displaystyle \mathrm {e} =2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{4+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{6+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}. Ce développement étant infini, ce nombre est irrationnel.

En 1761, Lambert étend la preuve donnée par Euler et montre, à laide de développements en fractions continues généralisées, que pour tout rationnel r non nul en particulier pour tout entier non nul, e r est irrationnel.

Cette approche permet aussi d’établir que e n’est pas un irrationnel quadratique, c’est-à-dire n’est solution d’aucune équation du second degré à coefficients rationnels cf. Fraction continue et approximation diophantienne.

Cependant, la mesure dirrationalité de e est égale à 2, comme celle des nombres irrationnels algébriques ainsi que lindique le théorème de Roth.

                                     

3.3. Propriétés Transcendance

Pour aller plus loin, c’est-à-dire que pour montrer que e n’est solution d’aucune équation du troisième degré à coefficients rationnels puis, qu’il est transcendant, ce qui signifie qu’il n’est solution d’aucune équation polynomiale à coefficients rationnels, de nouvelles idées sont nécessaires.

La transcendance de e fut établie par Charles Hermite en 1873, par une méthode préfigurant la théorie des approximants de Padé, développée en 1892 dans la thèse de son élève Henri Padé. Les différents approximants de Padé de la fonction exponentielle fournissent en effet de nombreuses expressions de e sous forme de fractions continues généralisées.

Puisque e est transcendant, e r lest aussi, pour tout rationnel r non nul et plus généralement: f e, pour toute fonction algébrique f non constante).

Le théorème de Gelfond-Schneider permet de démontrer également que, par exemple, e π est transcendant, mais on ne sait pas encore, en 2020, si e et π e sont transcendants ou non il est cependant conjecturé que tous les nombres de cette forme le sont.

Il est également conjecturé que e est un nombre normal.

                                     

4. Applications

Problème des intérêts composés

En 1685, Jacques Bernoulli étudie le problème des intérêts composés en progression continue: si un montant a rapporte un montant b dintérêts au bout dun temps fini, on peut considérer que ces intérêts sacquièrent linéairement en fonction du temps. Mais sur lintervalle de temps considéré, ces intérêts devraient eux-mêmes produire des intérêts, et ainsi de suite. Bernoulli obtient ainsi une expression qui évoque le développement en série exponentielle.

                                     

5. Décimales connues

Parmi les rationnels de numérateur et dénominateur inférieurs à 1 000, le plus proche de e est 878 / 323 ≈ 2.718 27.

La valeur numérique de e tronquée à 15 décimales est 2.718 281 828 459 045.

Le nombre de décimales connues de la constante e a beaucoup augmenté au cours des dernières décennies. Cette précision est due à l’augmentation des performances des ordinateurs ainsi qu’au perfectionnement des algorithmes.

                                     

6. Dans la culture informatique

Le nombre e fait lobjet de nombreux hommages dans le milieu informatique.

Pour son introduction en bourse en 2004, Google a annoncé vouloir lever non pas un chiffre rond comme cest généralement le cas, mais 2 718 281 828 $, soit e milliards de dollars au dollar près. Google est aussi à lorigine dune campagne de recrutement originale en juillet 2004: des panneaux mentionnant "{first 10-digit prime found in the consecutive digits of e}.com" {premier nombre premier à 10 chiffres trouvé dans les décimales successives de e}.com affichés dans un premier temps dans la Silicon Valley, puis à Cambridge, Seattle et Austin incitaient les curieux à se rendre sur le site aujourdhui disparu 7427466391.com. Là, le visiteur devait résoudre un problème encore plus difficile, qui lui-même le renvoyait sur le site Google Labs où il était invité à soumettre un CV. Le premier nombre premier à dix chiffres dans les décimales de e est 7 427 466 391, qui commence à la 99 e décimale.

Linformaticien Donald Knuth a numéroté les différentes versions de son programme Metafont daprès les décimales de e: 2, 2.7, 2.71, 2.718, et ainsi de suite. De la même façon, les numéros de versions de son programme TeX approchent π.



                                     
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  • doit pas être confondu avec entier algébrique. Un nombre algébrique, en mathématiques, est un nombre complexe solution d une équation polynomiale à coefficients
  • donne E un sous - ensemble de ℝ2. Un nombre réel est dit constructible à partir de E s il est l abscisse d un point constructible à partir de E Un nombre constructible
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  • voir Réel. Ne doit pas être confondu avec Nombre pseudo - réel, Nombre surréel, Nombre superréel ou Nombre hyperréel. Certaines informations figurant dans
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  • cyrillique. La lettre E peut être munie de diacritiques dans l écriture d un certain nombre de langues utilisant l alphabet latin : È è : accent grave français
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  • Un nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. Les nombres rationnels non entiers
  • Nombre d onde angulaire Nombre d onde fréquence spatiale Le nombre d onde par mètre, ou fréquence spatiale, est l inverse de la longueur d onde. En physique
                                     
  • certain nombre de langues utilisant l alphabet latin : Ɛ ɛ : accent grave indiquant un ton Ɛ ɛ : accent aigu indiquant un ton Ɛ ɛ : accent
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  • huit nombres premiers consécutifs 37 41 43 47 53 59 61 67 zéro de la fonction de Mertens, nombre octogonal, nombre intouchable, nombre Harshad
  • 53 59 61 67 nombre pentatopique, nombre Harshad, divisible par le nombre de nombres premiers inférieurs à lui, nombre de fossettes dimples
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Dictionnaire encyclopédique

Traduction

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